In der mathematischen Physik Minkowski-Raum (oder Minkowski-Raumzeit ) ist eine Kombination aus dreidimensionalem euklidischem Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit, bei der das Raumzeitintervall zwischen zwei Ereignissen unabhängig von der Trägheit ist Bezugsrahmen, in dem sie aufgenommen werden. Obwohl der Mathematiker Hermann Minkowski ursprünglich für Maxwells Gleichungen des Elektromagnetismus entwickelt worden war, stellte sich heraus, dass die mathematische Struktur der Minkowski-Raumzeit eine unmittelbare Folge der Postulate der speziellen Relativitätstheorie ist. [1]
Der Minkowski-Raum steht in enger Verbindung zu Einsteins Theorie von besonderer Relativitätstheorie und ist die am häufigsten verwendete mathematische Struktur, auf der spezielle Relativitätstheorie formuliert ist. Während sich die einzelnen Komponenten im euklidischen Raum und in der Zeit aufgrund von Längenkontraktion und Zeitdilatation unterscheiden können, werden sich in der Minkowski-Raumzeit alle Bezugssysteme auf die Gesamtlänge in der Raumzeit zwischen Ereignissen einigen. [nb 1] Da er die Zeit anders behandelt als die drei räumlichen Dimensionen, unterscheidet sich der Minkowski-Raum vom vierdimensionalen euklidischen Raum.
Im dreidimensionalen euklidischen Raum (z. B. einfach Raum in Galiläischer Relativitätstheorie) ist die Isometrie-Gruppe (die Karten, die den regulären Euklidischen Abstand beibehält) die Euklidische Gruppe. Sie wird durch Rotationen, Reflexionen und Translationen erzeugt. Wenn die Zeit als vierte Dimension geändert wird, werden die weiteren Umwandlungen der Übersetzungen in der Zeit und die Beschleunigung des Galilei hinzugefügt, und die Gruppe all dieser Umwandlungen wird als galiläische Gruppe bezeichnet. Alle galiläischen Transformationen bewahren die euklidische Entfernung 3-dimensional . Diese Entfernung ist rein räumlich. Zeitunterschiede werden auch separat beibehalten. Dies ändert sich in der Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie, in der Raum und Zeit miteinander verwoben sind.
Spacetime ist mit einer unbestimmten, nicht-degenerierten bilinearen Form ausgestattet, die auch als Minkowski-Metrik [194560145] der Minkowski-Norm oder bezeichnet wird. Minkowski inneres Produkt je nach Kontext. [nb 2] Das Minkowski-Innenprodukt ist so definiert, dass es das Raumzeitintervall zwischen zwei Ereignissen ergibt, wenn ihr Koordinatendifferenzvektor als Argument angegeben wird. [3] Ausgestattet mit diesem inneren Produkt wird das mathematische Modell der Raumzeit als Minkowski-Raum bezeichnet. Das Analogon der galiläischen Gruppe für den Minkowski-Raum, wobei das Raumzeitintervall (im Gegensatz zur räumlichen Euklidischen Entfernung) beibehalten wird, ist die Poincaré-Gruppe.
Zusammenfassend sind die galiläische Raumzeit und die Minkowski-Raumzeit, wenn sie als Mannigfaltigkeiten angesehen werden, tatsächlich tatsächlich gleich . Sie unterscheiden sich darin, welche weiteren Strukturen auf definiert sind. Ersteres hat die euklidische Abstandsfunktion und -zeit (getrennt) zusammen mit Inertialsystemen, deren Koordinaten durch galiläische Transformationen verknüpft sind, während das Letztere die Minkowski-Metrik zusammen mit Inertialsystemen besitzt, deren Koordinaten durch Poincaré-Transformationen miteinander verbunden sind.
Geschichte [ edit ]
Vierdimensionale euklidische Raumzeit [ edit
In den Jahren 1905–06 zeigte Henri Poincaré [4] dass, indem er sich Zeit nahm, um eine imaginäre vierte Raumzeitkoordinate zu sein ict wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist und i die imaginäre Einheit ist, Eine Lorentz-Transformation kann formal als Rotation von Koordinaten in einem vierdimensionalen Raum betrachtet werden, wobei drei reale Koordinaten den Raum und eine imaginäre Koordinate die Zeit als vierte Dimension darstellen. In der physikalischen Raumzeit legt die spezielle Relativitätstheorie die Menge fest ist unter Koordinatenänderungen von einem Trägheitsrahmen zu einem anderen unveränderlich, d. H. e. unter Lorentz-Transformationen. Hier wird die Lichtgeschwindigkeit c nach Poincaré zur Einheit gesetzt. In dem von ihm vorgeschlagenen Raum (Poincaré erwähnt dies nur nebenbei), wo die physische Raumzeit von [ t x x y koordiniert wird z ) ↦ ( x und z it it it nennen es Koordinatenraum erscheinen Lorentz-Transformationen als gewöhnliche Rotationen, die die quadratische Form beibehalten im Koordinatenraum. Die Benennung und Anordnung von Koordinaten mit den gleichen Bezeichnungen für Raumkoordinaten, jedoch mit der imaginären Zeitkoordinate wie bei der vierten Koordinate ist üblich. Der obige Ausdruck, während er den früheren Ausdruck bekannter gemacht hat, [nb 3] kann verwirrend sein, da er 19459014 nicht derselbe ist der in letzterer erscheint ( Zeitkoordinate ) wie in der früheren ( Zeit selbst in einem Inertialsystem, gemessen durch in diesem System stationäre Uhren). Rotationen in Ebenen, die von zwei Raumeinheitsvektoren überspannt werden, erscheinen sowohl im Koordinatenraum als auch in der physikalischen Raumzeit als euklidische Rotationen und werden im üblichen Sinne interpretiert. Die "Rotation" in einer von einem Raumeinheitsvektor und einem Zeiteinheitsvektor aufgespannten Ebene ist zwar formal noch eine Rotation im Koordinatenraum, ist jedoch ein Lorentz-Schub in der physikalischen Raumzeit mit Trägheitskoordinaten von real (19459015) (siehe auch hyperbolische Rotation) ). Die Analogie zu den euklidischen Rotationen ist daher nur teilweise. Diese Idee wurde von Hermann Minkowski, [5] ausgearbeitet, der die Maxwell-Gleichungen in vier Dimensionen neu formulierte, um ihre Invarianz unter der Lorentz-Transformation direkt darzustellen. Er formulierte die neuere Theorie der besonderen Relativitätstheorie von Einstein in vier Dimensionen weiter. Daraus schlussfolgerte er, dass Zeit und Raum gleich behandelt werden sollten, und so entstand sein Begriff von Ereignissen, die in einem einheitlichen vierdimensionalen Raumzeitkontinuum stattfinden. In einer weiteren Entwicklung in seiner 1908 "Space and Time" -Vorlesung [6] gab Minkowski eine alternative Formulierung davon Idee, die eine Echtzeitkoordinate anstelle einer imaginären verwendet hat und die vier Variablen darstellt (19459014) x y z t ) von Raum und Zeit in koordinierter Form in einem vierdimensionalen reellen Vektorraum. Punkte in diesem Raum entsprechen Ereignissen in der Raumzeit. In diesem Raum gibt es einen definierten Lichtkegel, der jedem Punkt zugeordnet ist, und Ereignisse, die sich nicht auf dem Lichtkegel befinden, werden nach ihrer Beziehung zum Scheitelpunkt als raumähnlich oder zeitähnlich klassifiziert. Heutzutage ist hauptsächlich diese Sicht der Raumzeit aktuell, obwohl die ältere Sicht, die imaginäre Zeit einschließt, auch die spezielle Relativitätstheorie beeinflusst hat. In der englischen Übersetzung von Minkowskis Artikel wird die unten definierte Minkowski-Metrik als Linienelement bezeichnet. Das Minkowski-Innenprodukt von unten scheint ungenannt zu sein, wenn es sich auf die Orthogonalität bestimmter Vektoren bezieht (die er 19459014 als Normalität bezeichnet), und das Minkowski-Norm-Quadrat wird (etwas kryptisch, vielleicht ist dies von der Übersetzung abhängig) als "Summe" bezeichnet. . Minkowskis wichtigstes Werkzeug ist das Minkowski-Diagramm, mit dem er Konzepte definiert und Eigenschaften von Lorentz-Transformationen demonstriert (z. B. richtige Zeit- und Längenkontraktion) und die relativistische Mechanik der Newtonschen Mechanik geometrisch interpretieren kann. Zu diesen speziellen Themen siehe die Artikel, auf die verwiesen wird, da die folgende Darstellung hauptsächlich auf die mathematische Struktur (Minkowski-Metrik und daraus abgeleitete Größen und die Poincaré-Gruppe als Symmetriegruppe der Raumzeit) nach der Invarianz beschränkt ist des Raumzeitintervalls auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit als Folge der Postulate der speziellen Relativitätstheorie, nicht auf eine spezifische Anwendung oder Ableitung der Invarianz des Raumzeitintervalls. Diese Struktur stellt die Hintergrundeinstellung aller gegenwärtigen relativistischen Theorien bereit, abgesehen von der allgemeinen Relativitätstheorie, für die die flache Minkowski-Raumzeit immer noch ein Sprungbrett darstellt, da die gekrümmte Raumzeit lokal Lorentz'sch ist. Minkowski war sich der grundlegenden Neuausrichtung der von ihm gemachten Theorie bewusst Die Ansichten von Raum und Zeit, die ich Ihnen geben möchte, sind aus dem Boden der experimentellen Physik entstanden und darin liegt ihre Stärke. Sie sind radikal. Von nun an ist der Raum an sich und die Zeit an sich zum Scheitern verurteilt, und nur eine Art Vereinigung der beiden wird eine unabhängige Realität bewahren. Obwohl Minkowski einen wichtigen Schritt für die Physik unternahm, sah Einstein seine Einschränkung: Weitere historische Informationen siehe Referenzen Galison (1979), Corry (1997) und Walter (1999) . Es wird angenommen, dass die Raumzeit mit a belegt ist Koordinatensystem entsprechend einem Inertialsystem. Dies liefert einen Ursprung der notwendig ist, um die Raumzeit als einen Vektorraum modellieren zu können. Dies ist nicht wirklich physisch dahingehend motiviert, dass ein kanonischer Ursprung ("zentrales" Ereignis in der Raumzeit) existieren sollte. Man kann mit weniger Struktur, der eines affinen Raums, davonkommen, aber dies würde die Diskussion unnötig komplizieren und würde nicht widerspiegeln, wie flache Raumzeiten in der modernen Einführungsliteratur normalerweise mathematisch behandelt werden. Für einen Überblick ist der Minkowski-Raum ein 4 -dimensionaler reeller Vektorraum, der mit einer nichtentarteten, symmetrischen bilinearen Form auf dem Tangentenraum an jedem Punkt der Raumzeit ausgestattet ist, hier einfach als Minkowski-Inner bezeichnet Produkt mit metrischer Signatur entweder (+ - - -) oder (- + + +) . Der Tangentenraum bei jedem Ereignis ist ein Vektorraum mit der gleichen Dimension wie die Raumzeit 4 . In der Praxis muss man sich nicht mit den Tangentenräumen beschäftigen. Die Vektorraumnatur des Minkowski-Raums ermöglicht die kanonische Identifizierung von Vektoren in tangentialen Räumen an Punkten (Ereignissen) mit Vektoren (Punkten, Ereignissen) im Minkowski-Raum selbst. Siehe z. Lee (2003, Satz 3.8.) Diese Kennzeichnungen werden routinemäßig in der Mathematik durchgeführt. Sie können in kartesischen Koordinaten formell ausgedrückt werden als [8]
19659014] - 19659015] t Minkowski space [ edit ]
Mathematische Struktur [ edit ]
Tangentenvektoren [ edit ]
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