wiki mizushiro: Palindromische Nummer

Eine Palindromzahl von oder Palindrom ist eine Zahl, die gleich bleibt, wenn ihre Ziffern umgekehrt werden. Wie zum Beispiel 16461 ist es "symmetrisch". Der Begriff palindromic leitet sich von Palindrom ab, was auf ein Wort (wie beispielsweise Rotor oder Rennwagen ) verweist, dessen Schreibweise unverändert ist, wenn seine Buchstaben umgekehrt werden. Die ersten 30 Palindromzahlen (in Dezimalzahlen) sind:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (Sequenz A002113 in der OEIS).

Palindromische Zahlen finden in der Freizeitmathematik die größte Aufmerksamkeit. Ein typisches Problem besteht darin, dass Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft besitzen und palindrom sind. Zum Beispiel:

Die palindromischen Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (Sequenz A002385 in der OEIS).

Die palindromischen Quadratzahlen sind 0, 1. 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… (Sequenz A002779 in der OEIS).

Buckminster Fuller identifizierte eine Menge von Zahlen, die er Scheherazadezahlen nannte. einige von ihnen haben eine palindromische Symmetrie von Zifferngruppen.

Es ist ziemlich einfach zu erkennen (und zu beweisen), dass es in jeder Basis unendlich viele palindrome Zahlen gibt, da in jeder Basis die unendliche Folge von Zahlen (in dieser Basis) als 101, 1001, 10001 usw. geschrieben wird wobei die Zahl n eine 1 ist, gefolgt von n Nullen, gefolgt von einer 1), nur aus palindromischen Zahlen.

Formale Definition [ edit ]

Obwohl palindromische Zahlen am häufigsten im Dezimalsystem berücksichtigt werden, kann das Konzept der Palindromizität auf die natürlichen Zahlen in angewendet werden irgendein Zahlensystem. Man betrachte eine Zahl n > 0 in der Basis b ≥ 2, wobei sie in Standardnotation mit k +1 Ziffern a _{i geschrieben ist} als:

{displaystyle n=sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}

mit wie üblich 0 ≤ a _i [ b für alle i und a _k ≠ 0. Dann n ist genau dann palindrom, wenn a _i = a _{k - i} für alle i . Null wird in jeder Basis mit 0 geschrieben und ist per Definition auch palindrom.

Palindrome Dezimalzahlen [ edit ]

Palindrome Dezimalzahlen mit einer geraden Anzahl von Ziffern sind durch 11 teilbar.

Alle Zahlen in Basis 10 (und tatsächlich in jeder Basis) mit einer Ziffer sind palindrom. Die Anzahl der Palindromzahlen mit zwei Ziffern beträgt 9:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Es gibt 90 Palindromnummern mit drei Ziffern (Verwendung der Produktregel: 9 Auswahlmöglichkeiten für die erste Ziffer - was bestimmt auch die dritte Ziffer - multipliziert mit 10 Auswahlen für die zweite Ziffer):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

und auch 90 palindromische Zahlen mit vier Ziffern: (Wiederum 9 Auswahlmöglichkeiten für die erste Ziffer, multipliziert mit zehn Auswahlmöglichkeiten für die zweite Ziffer. Die beiden anderen Ziffern werden durch die Wahl der ersten beiden Ziffern bestimmt.)

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,…, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

so gibt es 199 palindromische Zahlen unter 10 ⁴. Unter 10 ⁵ gibt es 1099 Palindromzahlen und für andere Exponenten von 10 ⁿ haben wir: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (Sequenz A070199 [A]. in der OEIS). Für einige Typen von palindromischen Zahlen sind diese Werte in einer Tabelle aufgeführt. Hier ist 0 enthalten.

	10 ¹	10 ²	10 ³	10 ⁴	10 ^{10 ^{] 5}}	10 ⁶	10 ⁷	10 ⁸	10 ^{9 ⁹ [19659046] 10 ¹⁰}
n natürlich	10 19659058] 19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n gerade	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n ungerade	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n Quadrat	4		7		14	15	20		31
n cube	3		4	5			7			8
n prime	4	5	20		113		781		5953
n viereckfrei	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n nicht quadratfrei (μ ( n ) = 0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n Quadrat mit Hauptwurzel ^[1]	2	3		5
n mit einer geraden Anzahl von verschiedenen Primfaktoren (μ ( n ) = 1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n mit einer ungeraden Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren (μ ( n ) = - 1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n auch mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n auch mit einer ungeraden Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n ungerade mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n ungerade mit einer ungeraden Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n sogar quadratisch mit einer geraden Anzahl (verschiedener) Primfaktoren	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n ungerade quadratisch mit einer geraden Anzahl (verschiedener) Primfaktoren	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n ungerade mit genau 2 Primfaktoren	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n auch mit genau 2 Primfaktoren	2	3	11		64		413		+	+
n sogar mit genau 3 Primfaktoren	1	3	14	24	122 19659058] 179	1056	1400	+	+
n auch mit genau 3 verschiedenen Primfaktoren	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n ungerade mit genau 3 Primfaktoren	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n Carmichael-Nummer	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n für das σ ( n ) palindrom ist	6	10	47 19659058] 114	688	1417	5683	+	+	+

Vollkommene Kräfte [ edit ]

Es gibt viele palindromische Vollkräfte (19459005) n ^kwobei n eine natürliche Zahl ist und k ist 2, 3 oder 4.

Palindrome Quadrate: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (Sequenz A002779 in der OEIS)

Palindromic Würfel: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (Sequenz A002781 in der OEIS)

Palindromische vierte Kraft: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001 , ... (Sequenz A186080 in der OEIS)

Die ersten neun Terme der Sequenz 1 ²11 ²111 ²1111 ²... aus den Palindromen 1, 121, 12321, 1234321, ... (Sequenz A002477 in der OEIS)

Die einzige bekannte nicht-palindrome Zahl, deren Würfel ein Palindrom ist, ist 2201, und es ist eine Vermutung, dass die vierte Wurzel aller Palindromvierten Potenzen ein Palindrom mit 100000 ... 000001 (10 ⁿ ist. + 1).

G. J. Simmons vermutete, dass es keine Palindrome der Form gibt n ^k für k > 4 (und n > 1). ^[2]