wiki mizushiro: Spur (lineare Algebra)

In linearer Algebra ist die Spur eines ${displaystyle ntimes n}$ ist definiert als die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale (die Diagonale von oben links nach unten rechts) von ${ displaystyle A}$ .

Die Spur einer Matrix ist die Summe der (komplexen) Eigenwerte und ist bezüglich einer Basisänderung invariant. Diese Charakterisierung kann verwendet werden, um allgemein die Spur eines linearen Operators zu definieren. Beachten Sie, dass die Kurve nur für eine quadratische Matrix definiert ist (dh ${1945style n times n}$ . ).

Die Spur (oft als tr abgekürzt) steht im Zusammenhang mit der Ableitung der Determinante (siehe Jacobis Formel).

Definition [ edit ]

Die -Spur eines ${displaystyle ntimes n}$ quadratische Matrix ${displaystyle A}$ A ist definiert als [1]^:[1]^{p. 34}

${ displaystyle operatorname {tr} (A) = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + dots + a_ {nn}}$

wobei ${ displaystyle a_ {ii}}$ bezeichnet der Eintrag in der i ten Zeile und i th Spalte von ${1945style A}$ .

Beispiel [ edit ]

Es sei ${1945style A}$ eine Matrix, mit

{displaystyle A={begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&0&3\11&5&2\6&12&-5end{pmatrix}}.}

{ displaystyle A = { begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 0 & 3 11 & 5 & 2 6 & 12 & -5 end {pmatrix}}.}

Dann

{displaystyle operatorname {tr} (A)=sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=-1+5+-5=-1.}

Eigenschaften [ bearbeiten ]

Basismerkmale edit ]

Die Spur ist eine lineare Abbildung. Das ist,

${ displaystyle { begin {align} OperatorName {tr} (A + B) & = operatorname {tr} (A) + operatorname {tr} (B) \ operatorname {tr} (cA) & = c operatorname {tr} (A) end {56}}}$

für alle quadratischen Matrizen ${displaystyle A}$ und ${displaystyle B}$ und alle Skalare ${displaystyle c}$ [1]^:[1]^{p. 34}

Eine Matrix und ihre Transpose haben die gleiche Spur: ^[1]^{: p. 34}

{ displaystyle operatorname {tr} (A) = operatorname {tr} left (A ^ { textsf {T}} right).}

Dies ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, dass die Transponierung einer quadratischen Matrix keine Elemente entlang der Struktur beeinflusst Hauptdiagonale.

Produktspur [ edit ]

Die Produktspur zweier Matrizen ${1945Style A}$ kann als Summe der Eintrittsprodukte von Elementen umgeschrieben werden:

{displaystyle operatorname {tr} left(A^{textsf {T}}Bright)=operatorname {tr} left(AB^{textsf {T}}right)=operatorname {tr} left(B^{textsf {T}}Aright)=operatorname {tr} left(BA^{textsf {T}}right)=sum _{i,j}A_{ij}B_{ij}.}

T Dies bedeutet, dass die Spur eines Produkts von Matrizen ähnlich funktioniert wie ein Punktprodukt von Vektoren . Aus diesem Grund beinhalten Verallgemeinerungen von Vektoroperationen auf Matrizen (z. B. in Matrixberechnung und Statistik) oft eine Spur von Matrixprodukten.

Für echte Matrizen ${ displaystyle A}$ und ${19689207] B$

(unter Verwendung des Hadamard-Produkts, dh des Eintrittsproduktes).

{ displaystyle operatorname {tr} left (A ^ { textsf {T}} B right) = operatorname {vec} (B) ^ { textsf {T}} Operatorname {vec} (A) = Operatorname {vec} (A) ^ { textsf {T}} Operatorname {vec} (B)}

(unter Verwendung des Vektorisierungsoperators)

Die Matrizen in einer Produktspur können gewechselt werden, ohne das Ergebnis zu ändern: Wenn ${ displaystyle A}$ m ist ${ displaystyle m times n}$ Matrix und ${ displaystyle B}$ ist eine $[Displaystylentimesm}$

${ displaystyle operatorname {tr} (AB) = operatorname {tr} (BA)}$

Zyklisches Eigentum [ edit ]

Im Allgemeinen ist die Spur invariant unter cyclischen Permutationen ]dh

{displaystyle operatorname {tr} (ABCD)=operatorname {tr} (BCDA)=operatorname {tr} (CDAB)=operatorname {tr} (DABC).}

Dies wird als zyklische Eigenschaft bezeichnet.

Beachten Sie, dass beliebige Permutationen nicht zulässig sind: Im Allgemeinen

{displaystyle operatorname {tr} (ABC)neq operatorname {tr} (ACB).}

Wenn jedoch Produkte von drei symmetrischen -Matrizen in Betracht gezogen werden, ist jede Permutation zulässig. (Beweis: ${19659121] {19659121] {19659121] (ABC) = operatorname {tr} ((ABC) ^ { textsf {T}}) = operatorname {tr} (CBA) = operatorname {tr} (ACB)}$ wobei der erste Gleichheit ist, weil die Spuren einer Matrix und ihrer Transponierten gleich sind.) Bei mehr als drei Faktoren trifft dies im Allgemeinen nicht zu.

Spur eines Matrixprodukts [ edit ]

Im Gegensatz zur Determinante ist die Spur des Produkts nicht das Produkt von Spuren, d. H. Es existieren Matrizen ${ displaystyle A}$ und ${ displaystyle B}$ B "/> B

{displaystyle operatorname {tr} (AB)neq operatorname {tr} (A)operatorname {tr} (B)}

Spur eines Kronecker-Produkts [ edit ]

Was wahr ist, ist, dass die Spur des Kronecker-Produkts zweier Matrizen das Produkt ihrer Spuren ist:

{displaystyle operatorname {tr} (Aotimes B)=operatorname {tr} (A)operatorname {tr} (B)}

. 19659545] Vollständige Charakterisierung der Spur [ edit ]

Die folgenden drei Eigenschaften:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {tr} (A+B)&=operatorname {tr} (A)+operatorname {tr} (B),\operatorname {tr} (cA)&=coperatorname {tr} (A),\operatorname {tr} (AB)&=operatorname {tr} (BA),end{aligned}}}

charakterisieren die Spur vollständig im folgenden Sinn. ${ displaystyle f}$ sei eine lineare Funktion auf dem Raum quadratischer Matrizen, die f x [19659051] y ) = f ( y x ) {193] f (xy) = f (yx)] ${ displaystyle f (xy) = f (yx)}$ . Dann ${ displaystyle f}$ und ${ displaystyle operatorname {tr}}$ sind proportional. [note 2]

Ähnlichkeitsinvarianz [ edit ]

Die Spur ist gleichheitsinvariant, was bedeutet, dass für jede quadratische Matrix A A [19456525] gilt ] { displaystyle A} $A$ und jede invertierbare Matrix ${ displaystyle P}$ der gleichen Abmessungen, die Matrizen ${ displaystyle A}$ und ${displaystyle P^{-1}AP}$ hat die gleiche Spur. Das ist weil

{displaystyle operatorname {tr} left(P^{-1}APright)=operatorname {tr} left(P^{-1}(AP)right)=operatorname {tr} left((AP)P^{-1}right)=operatorname {tr} left(Aleft(PP^{-1}right)right)=operatorname {tr} (A).}

{ displaystyle operatorname {tr} left (P ^ {- 1} AP right) = operatorname { tr} left (P ^ {- 1} (AP) right) = Operatorname {tr} left (( AP) P ^ {- 1} right) = operatorname {tr} left (A left (PP ^ {- 1} right) right) = operatorname {tr} (A).}

Produktspur einer symmetrischen und schrägsymmetrischen Matrix [ edit ]

If ${displaystyle A}$ ist symmetrisch und ${displaystyle B}$ ist dann schrägsymmetrisch

{displaystyle operatorname {tr} (AB)=0}

Beziehung zu Eigenwerten [ edit ]

Spur der Identitätsmatrix [ edit ]

Die Spur der

{displaystyle ntimes n}

[19456540] [19456540] [19456540] ist [19456540] die Dimension des Raums, dh

{ displaystyle n}

{displaystyle operatorname {tr} (I_{n})=n}

Dies führt zu Verallgemeinerungen der Dimension mit Hilfe von trace.

Spur einer idempotenten Matrix [ edit ]

Die Spur einer idempotenten Matrix ${displaystyle A}$ (dh eine Matrix, für die ${ displaystyle A ^ {2} = A}$ ) ist der Rang von ${ displaystyle A}$ .

Spur einer Nilpotent-Matrix [ edit ]

Die Spur einer Nilpotent-Matrix ist Null.

Spur entspricht der Summe der Eigenwerte [ edit ]

Allgemeiner, wenn ${ displaystyle A}$

${ displaystyle operatorname {tr} (A) = d_ {1} lambda _ { 1} + cdots + d_ {k} lambda _ {k}}$

d.h. Die Spur einer quadratischen Matrix entspricht der Summe der mit Multiplizitäten gezählten Eigenwerte.

Spur des Kommutators [ edit ]

Wenn beide ${displaystyle A}$ und ${ displaystyle B}$ sind ${ displaystyle n times n}$

Umgekehrt ist jede quadratische Matrix mit einer Nullspur eine Linearkombination der Kommutatoren von Paaren von Matrizen. ^{[note 3]} Außerdem ist jede quadratische Matrix mit einer Nullspur einheitlich einer quadratischen Matrix mit einer aus Nullen bestehenden Diagonalen äquivalent.

Spur der Kräfte von nilpotenten Matrizen [ edit ]

Die Spur einer beliebigen Kraft einer nilpotentischen Matrix ist Null. Wenn die Charakteristik des Basisfelds Null ist, gilt auch die Umkehrung: Wenn ${ textstyle operatorname {tr} left (x ^ {k} right) = 0}$ für alle ${ textstyle k}$ dann ${1945style x} [19659897] { textstyle x} "/>$

Spur der Hermitianischen Matrix [ edit ]

Die Spur einer Hermitianischen Matrix ist real, weil die Elemente auf der Diagonale real sind.

Spur der Projektionsmatrix [ edit ]

Die Spur einer Projektionsmatrix ist die Dimension des Zielraums.

{ displaystyle { begin {align} P_ {X} & = X left (X ^ { textsf {T}} X right) ^ {-1} X ^ { textsf {T}} \ [3pt] Longrightarrow operatorname {tr} left (P_ {X} right) & = operatorname {rank} (X). End {ausgerichtet }}}

Beachten Sie das ${ textstyle P_ {X}}$ ist idempotent und im Allgemeinen entspricht die Spur einer idempotenten Matrix ihrem Rang.

Exponentialspur [ edit ]

Ausdrücke wie ${ displaystyle operatorname {tr} ( exp (A))}$ wobei ${ displaystyle A}$ eine quadratische Matrix ist, die in manchen Bereichen so häufig vorkommt (z. B. multivariate statistische Theorie), dass eine Kurzschriftnotierung üblich geworden ist:

{displaystyle operatorname {tre} (A):=operatorname {tr} (exp(A)).}

Dies wird manchmal als exponentiale - Funktion bezeichnet. es wird in der Golden-Thompson-Ungleichung verwendet.

Spur eines linearen Operators [ edit ]

Gegeben einer linearen Karte ${displaystyle f:Vmapsto V}$ (wobei ${ displaystyle V}$ ist ein endlicher (19459180] dimensionaler Vektorraum). Im Allgemeinen können wir die Spur dieser Karte definieren, indem wir die Spur der Matrixdarstellung von f betrachten, dh eine Basis für auswählen. V und beschreibt f als Matrix bezüglich dieser Basis und nimmt die Spur dieser quadratischen Matrix. Das Ergebnis hängt nicht von der gewählten Basis ab, da unterschiedliche Basen zu ähnlichen Matrizen führen, wodurch die Möglichkeit einer basenunabhängigen Definition der Spur einer linearen Karte ermöglicht wird.

Eine solche Definition kann unter Verwendung des kanonischen Isomorphismus zwischen dem Raumende ( V ) linearer Karten auf ${displaystyle V}$ und angegeben werden ${ displaystyle V otimes V ^ {*}}$ ${ displaystyle V ^ {*}}$ ist der -Doppelraum von ${ displaystyle V}$ . ${ displaystyle v}$ sei ${ displaystyle V}$ und ließ [19659600] f { displaystyle f} $f$ f ${ displaystyle V ^ {*}}$ . Dann die Spur des unverbaubaren Elements ${ displaystyle v otimes f}$ ist definiert als ${ displaystyle f (v)}$ ; Die Spur eines allgemeinen Elements wird durch die Linearität definiert. Verwendung einer expliziten Basis für ${ displaystyle V}$ und der entsprechenden dualen Basis für ${ displaystyle V ^ { *}}$ kann man zeigen, dass dies die gleiche Definition der Spur wie oben gibt.

Eigenwertbeziehungen [ edit ]

If ${displaystyle A}$ ist ein linearer Operator, der durch ein Quadrat dargestellt wird ${ displaystyle n times n}$ Matrix mit realen oder komplexen Einträgen und if ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}}$ sind die Eigenwerte von ${displaystyle A}$ (aufgeführt nach ihren algebraischen Multiplizitäten ), dann

${displaystyle operatorname {tr} (A)=sum _{i}lambda _{i}}$

Dies folgt aus der Tatsache, dass ${displaystyle A}$ immer seiner Jordanform ähnelt eine obere dreieckige Matrix mit $Lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}}$ auf der Hauptdiagonale. Im Gegensatz dazu ist die Determinante von ${ displaystyle A}$ das -Produkt seiner Eigenwerte; d.h.

{ displaystyle operatorname {det} (A) = prod _ {i} lambda _ {i}.}

Allgemeiner

{displaystyle operatorname {tr} left(A^{k}right)=sum _{i}lambda _{i}^{k}}

Ableitungen [ edit ]

Die Spur entspricht der Ableitung der Determinante: Sie ist das Lie-Algebra-Analogon der (Lie-Gruppe) -Karte der Determinante. Dies wird in Jacobis Formel für die Ableitung der Determinante präzisiert.

Als besonderer Fall an der Identität stellt die Ableitung der Determinante tatsächlich die Spur dar: ${textstyle operatorname {tr} =operatorname {det} '_{I}}$ . Daraus (oder aus der Verbindung zwischen der Spur und den Eigenwerten) kann eine Verbindung zwischen der Trace-Funktion, der Exponentialkarte zwischen einer Lie-Algebra und ihrer Lie-Gruppe (oder konkret der Exponentialfunktion der Matrix ) und abgeleitet werden die Determinante:

{ displaystyle det ( exp (A)) = exp ( operatorname {tr} (A)) }

Betrachten Sie beispielsweise die durch Rotation durch den Winkel gegebene Familie der linearen Transformationen mit einem Parameter ${ displaystyle theta}$ ,

{displaystyle R_{theta }={begin{pmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta end{pmatrix}}.}

These transformations all have determinant 1 , so they preserve area. The derivative of this family at θ = 0, the identity rotation, is the antisymmetric matrix

{displaystyle A={begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}}}

which clearly has trace zero, indicating that this matrix represents an infinitesimal transformation which preserves area.

By the divergence theorem, one can interpret this in terms of flows: if ${displaystyle F(x)}$ represents the velocity of a fluid at location ${displaystyle x}$ and ${displaystyle U}$ is a region in ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ the net flow of the fluid out of ${displaystyle U}$ is given by ${displaystyle operatorname {tr} (A)cdot operatorname {vol} (U)}$ where ${displaystyle operatorname {vol} (U)}$ is the volume of ${displaystyle U}$ .

The trace is a linear operator, hence it commutes with the derivative:

{displaystyle operatorname {d} operatorname {tr} (X)=operatorname {tr} (operatorname {d!} X).}

Applications[edit]

The trace of a 2-by-2 complex matrix is used to classify Möbius transformations. First the matrix is normalized to make its determinant equal to one. Then, if the square of the trace is 4, the corresponding transformation is parabolic. If the square is in the interval [04)itiselliptic. Finally, if the square is greater than 4, the transformation is loxodromic. See classification of Möbius transformations.

The trace is used to define characters of group representations. Two representations ${textstyle A,B:Gto {mathit {GL}}(V)}$ of a group G are equivalent (up to change of basis on V) if ${textstyle operatorname {tr} A(g)=operatorname {tr} B(g)}$ for all g ∈ G.

The trace also plays a central role in the distribution of quadratic forms.

Lie algebra[edit]

The trace is a map of Lie algebras ${textstyle operatorname {tr} colon {mathit {gl}}_{n}to k}$ from the Lie algebra gl_n of operators on a n-dimensional space ${displaystyle ntimes n}$ matrices) to the Lie algebra k of scalars; as k is abelian (the Lie bracket vanishes), the fact that this is a map of Lie algebras is exactly the statement that the trace of a bracket vanishes:

{displaystyle operatorname {tr} ([A,B])=0.}

The kernel of this map, a matrix whose trace is zero, is often said to be traceless or tracefreeand these matrices form the simple Lie algebra sl_nwhich is the Lie algebra of the special linear group of matrices with determinant 1. The special linear group consists of the matrices which do not change volume, while the special linear Lie algebra is the matrices which infinitesimally do not change volume.

In fact, there is an internal direct sum decomposition ${textstyle {mathit {gl}}_{n}={mathit {sl}}_{n}oplus k}$ of operators/matrices into traceless operators/matrices and scalars operators/matrices. The projection map onto scalar operators can be expressed in terms of the trace, concretely as:

{displaystyle Amapsto {frac {1}{n}}operatorname {tr} (A)cdot I.}

Formally, one can compose the trace (the counit map) with the unit map ${textstyle kto {mathit {gl}}_{n}}$ of "inclusion of scalars" to obtain a map ${textstyle {mathit {gl}}_{n}to {mathit {gl}}_{n}}$ mapping onto scalars, and multiplying by n. Dividing by n makes this a projection, yielding the formula above.

In terms of short exact sequences, one has

{displaystyle 0to {mathit {sl}}_{n}to {mathit {gl}}_{n}{overset {operatorname {tr} }{to }}kto 0}

which is analogous to

{displaystyle 1to {mathit {SL}}_{n}to {mathit {GL}}_{n}{overset {operatorname {det} }{to }}K^{*}to 1}

for Lie groups. However, the trace splits naturally (via ${textstyle {frac {1}{n}}}$ times scalars) so ${textstyle {mathit {gl}}_{n}=sl_{n}oplus k}$ but the splitting of the determinant would be as the nth root times scalars, and this does not in general define a function, so the determinant does not split and the general linear group does not decompose: ${textstyle {mathit {GL}}_{n}neq SL_{n}times K^{*}.}$

Bilinear forms[edit]

The bilinear form

{displaystyle B(x,y)=operatorname {tr} (operatorname {ad} (x)operatorname {ad} (y)){text{ where }}operatorname {ad} (x)y=[x,y]=xy-yx}

is called the Killing form, which is used for the classification of Lie algebras.

The trace defines a bilinear form:

{displaystyle (x,y)mapsto operatorname {tr} (xy)}

( ${displaystyle x,y}$ square matrices).
m
The form is symmetric, non-degenerate^{[note 4]} and associative in the sense that:

{displaystyle operatorname {tr} (x[y,z])=operatorname {tr} ([x,y]z).}

For a complex simple Lie algebra (e.g., ${textstyle {mathfrak {sl}}_{n}}$ ), every such bilinear form is proportional to each other; in particular, to the Killing form.

Two matrices ${displaystyle x}$ and ${displaystyle y}$ are said to be trace orthogonal if

{displaystyle operatorname {tr} (xy)=0}

Inner product[edit]

For an ${displaystyle mtimes n}$ matrix ${displaystyle A}$ with complex (or real) entries and ${displaystyle {}^{mathrm {H} }}$ being the conjugate transpose, we have

{displaystyle operatorname {tr} left(A^{mathrm {H} }Aright)geq 0}

with equality if and only if ${displaystyle A=0}$ .[2]^{:p. 7}

The assignment

{displaystyle langle A,Brangle =operatorname {tr} left(A^{mathrm {H} }Bright)}

yields an inner product on the space of all complex (or real) ${displaystyle mtimes n}$ matrices.

The norm derived from the above inner product is called the Frobenius norm, which satisfies submultiplicative property as matrix norm. Indeed, it is simply the Euclidean norm if the matrix is considered as a vector of length ${displaystyle mcdot n}$ .

It follows that if ${displaystyle A}$ and ${displaystyle B}$ are real positive semi-definite matrices of the same size then

{displaystyle 0leq left[operatorname {tr} (AB)right]^{2}leq operatorname {tr} left(A^{2}right)operatorname {tr} left(B^{2}right)leq left[operatorname {tr} (A)right]^{2}left[operatorname {tr} (B)right]^{2}.}

[note 5]

Generalizations[edit]

The concept of trace of a matrix is generalized to the trace class of compact operators on Hilbert spaces, and the analog of the Frobenius norm is called the Hilbert–Schmidt norm.

If ${textstyle K}$ is trace-class, then for any orthonormal basis ${textstyle left(varphi _{n}right)_{n}}$ the trace is given by

{displaystyle operatorname {tr} (K)=sum _{n}leftlangle varphi _{n},Kvarphi _{n}rightrangle ,}

and is finite and independent of the orthonormal basis.[3]

The partial trace is another generalization of the trace that is operator-valued. The trace of a linear operator ${textstyle Z}$ which lives on a product space ${textstyle Aotimes B}$ is equal to the partial traces over ${textstyle A}$ and ${textstyle B}$ : ${textstyle operatorname {tr} (Z)=operatorname {tr} _{A}left(operatorname {tr} _{B}(Z)right)=operatorname {tr} _{B}left(operatorname {tr} _{A}(Z)right).}$ For more properties and a generalization of the partial trace, see the article on traced monoidal categories.

If ${displaystyle A}$ is a general associative algebra over a field ${displaystyle k}$ then a trace on ${displaystyle A}$ is often defined to be any map ${displaystyle operatorname {tr} :Amapsto k}$ which vanishes on commutators: ${displaystyle operatorname {tr} ([a,b])}$ for all ${displaystyle a,bin A}$ . Such a trace is not uniquely defined; it can always at least be modified by multiplication by a nonzero scalar.

A supertrace is the generalization of a trace to the setting of superalgebras.

The operation of tensor contraction generalizes the trace to arbitrary tensors.

Coordinate-free definition[edit]

We can identify the space of linear operators on a vector space ${displaystyle V}$ defined over the field ${displaystyle F}$ with the space ${textstyle Votimes V^{*}}$ where ${textstyle votimes h=left(wmapsto h(w)vright)}$ . We also have a canonical bilinear function ${textstyle tcolon Vtimes V^{*}to F}$ that consists of applying an element ${displaystyle w^{*}}$ of ${displaystyle V^{*}}$ to an element ${displaystyle v}$ of ${displaystyle V}$ to get an element of ${displaystyle F}$ in symbols ${textstyle tleft(v,w^{*}right):=w^{*}(v)in F}$ . This induces a linear function on the tensor product (by its universal property) ${textstyle tcolon Votimes V^{*}to F}$ which, as it turns out, when that tensor product is viewed as the space of operators, is equal to the trace.

This also clarifies why ${textstyle operatorname {tr} (AB)=operatorname {tr} (BA)}$ and why ${textstyle operatorname {tr} (AB)neq operatorname {tr} (A)operatorname {tr} (B)}$ as composition of operators (multiplication of matrices) and trace can be interpreted as the same pairing. Viewing ${textstyle operatorname {End} (V)cong Votimes V^{*}}$ one may interpret the composition map ${textstyle operatorname {End} (V)times operatorname {End} (V)to operatorname {End} (V)}$ as

{displaystyle (Votimes V^{*})times (Votimes V^{*})to (Votimes V^{*})}

coming from the pairing ${textstyle V^{*}times Vto F}$ on the middle terms. Taking the trace of the product then comes from pairing on the outer terms, while taking the product in the opposite order and then taking the trace just switches which pairing is applied first. On the other hand, taking the trace of A and the trace of B corresponds to applying the pairing on the left terms and on the right terms (rather than on inner and outer), and is thus different.

In coordinates, this corresponds to indexes: multiplication is given by ${textstyle (AB)_{ik}=sum _{j}a_{ij}b_{jk}}$ so ${textstyle operatorname {tr} (AB)=sum _{ij}a_{ij}b_{ji}}$ and ${textstyle operatorname {tr} (BA)=sum _{ij}b_{ij}a_{ji}}$ which is the same, while ${textstyle operatorname {tr} (A)cdot operatorname {tr} (B)=sum _{i}a_{ii}cdot sum _{j}b_{jj}}$ which is different.

For ${textstyle V}$ finite-dimensional, with basis ${textstyle left{e_{i}right}}$ and dual basis ${textstyle left{e^{i}right}}$ then ${textstyle e_{i}otimes e^{j}}$ is the ij-entry of the matrix of the operator with respect to that basis. Any operator ${textstyle A}$ is therefore a sum of the form ${textstyle A=a_{ij}e_{i}otimes e^{j}}$ . With ${textstyle t}$ defined as above, ${textstyle t(A)=a_{ij}tleft(e_{i}otimes e^{j}right)}$ . The latter, however, is just the Kronecker delta, being 1 if ${displaystyle i=j}$ and 0 otherwise. This shows that ${textstyle t(A)}$ is simply the sum of the coefficients along the diagonal. This method, however, makes coordinate invariance an immediate consequence of the definition.

Dual[edit]

Further, one may dualize this map, obtaining a map ${textstyle F^{*}=Fto Votimes V^{*}cong operatorname {End} (V)}$ . This map is precisely the inclusion of scalars, sending 1 ∈ F to the identity matrix: "trace is dual to scalars". In the language of bialgebras, scalars are the unitwhile trace is the counit.

One can then compose these, ${textstyle F{overset {I}{to }}operatorname {End} (V){overset {operatorname {tr} }{to }}F}$ which yields multiplication by nas the trace of the identity is the dimension of the vector space.

References[edit]

^ ^a ^b ^c ^d Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc. Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.

^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

^ Teschl, G. (30 October 2014). Mathematical Methods in Quantum Mechanics. Abschluss in Mathematik. 157 (2nd ed.). Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 1470417049.